基础量子力学中的几个命题

以下记录下基础量子力学中的几个命题及其证明：

命题一：若$\varphi_1$和$\varphi_2$是定态薛定谔方程的两个解，则它们的朗斯基行列式为常数

学过线性代数的我们可以知道，由n个向量组成的${n}\times{n}$矩阵的秩不是满秩时，该矩阵中存在线性相关的矢量。朗斯基行列式判断是否存在线性相关的向量的方法类似，通过构造${n}\times{n}$的矩阵，计算行列式的值判断是否存在线性相关的向量。

两个波函数是否线性相关，我们可以构造$2\times2$的矩阵，通过朗斯基行列式判断。例如：

$$W\left(\varphi_1,\varphi_2\right)= \begin{vmatrix} \varphi_1 & \varphi_2 \\ \varphi_{1}^{'} & \varphi_{2}^{'} \\ \end{vmatrix} =\varphi_1\varphi_{2}^{'}-\varphi_{1}^{'}\varphi_2$$

如果$\varphi_1$和$\varphi_2$线性相关，则有$\varphi_1=k\varphi_2$(k为常系数)，自然$W\left(\varphi_1,\varphi_2\right)=0$。

为证明命题一$\varphi_1$和$\varphi_2$带入薛定谔方程有

$$-\dfrac{\hbar^2}{2\mu}\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\varphi_1+V\varphi_1=E\varphi_1\tag{1}$$ $$-\dfrac{\hbar^2}{2\mu}\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\varphi_2+V\varphi_2=E\varphi_2\tag{2}$$

$\left(1\right)\times\varphi_2-\left(2\right)\times\varphi_1$有，

$$-\dfrac{\hbar^2}{2\mu}\left(\varphi_{1}^{''}\varphi_{2}-\varphi_{2}^{''}\varphi_{1}\right)=0$$ $$-\dfrac{\hbar^2}{2\mu}\left(\varphi_{1}^{''}\varphi_{2}+\varphi_{1}^{'}\varphi_{2}^{'}-\varphi_{1}^{'}\varphi_{2}^{'}-\varphi_{2}^{''}\varphi_{1}\right)=0$$ $$-\dfrac{\hbar^2}{2\mu}\left[\left(\varphi_{1}^{'}\varphi_{2}\right)^{'}-\left(\varphi_{1}\varphi_{2}^{'}\right)^{'}\right]=0$$ $$\left[\left(\varphi_{1}^{'}\varphi_{2}\right)-\left(\varphi_{1}\varphi_{2}^{'}\right)\right]^{'}=0$$

因此，$W\left(\varphi_1,\varphi_2\right)=constant$。

命题二：一维定态的简并小于等于2

假设E对应有三个独立的本征解$\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3$。